Vector¶
definition¶
\[\mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n]^T\]
inner product¶
\[\begin{split}\begin{align}
\mathbf{a}^T \mathbf{b} &= \mathbf{b}^T \mathbf{a} \\
&=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1, b_2, \cdots, b_n
\end{bmatrix} \\
&=
a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \cdots + a_n b_n
\end{align}\end{split}\]
out product¶
\[\begin{split}\mathbf{a}
\times \mathbf{b} =
\left |
\begin{matrix}
i & j & k \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{matrix}
\right |\end{split}\]
3维向量的叉乘写成矩阵方式：
\[\begin{split}\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{bmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{bmatrix}\end{split}\]
在机器人中更常见的写法是用^运算符号：
\[\begin{split}\mathbf{a}^{\wedge} \triangleq
\begin{bmatrix}
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1 \\
-a_2 & a_1 & 0
\end{bmatrix}\end{split}\]
则容易证明有如下公式成立：
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{b}\]
Note
性质1： \(\mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{b} = -\mathbf{b}^{\wedge} \mathbf{a}\)
性质2： \(\mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{a}^{\wedge} = -\mathbf{I} + \mathbf{a}\mathbf{a}^T\)
性质3： \(\mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{a}^{\wedge} \mathbf{a}^{\wedge} = \mathbf{a}^{\wedge} (-\mathbf{I} + \mathbf{a}\mathbf{a}^T) = -\mathbf{a}^{\wedge}\)